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第725章 可数无穷不可数无穷（第3页）

先假设实数集是可数的，可以用类似于上面使用过的可数化方法，将所有的实数都列举出来。

1x1.a1a2a3…

2x2.b1b2b3…

3x3.c1c2c3…

通过一一列举的方法，列举出一个有着无穷个无限小数的数表。

想要证明这张数表无法列举出所有实数，就要构造出一个反例，表明它不可能出现在这张表里。

这种方法被称为对角线证明。

令一个实数R的小数部分为a1-1，b2-1，c3-1…当o-1时令其为9。

这个实数R小数点后的第1位与列表中的第一个实数的第一位不同，小数点后的第2位与列表中的第二个实数的第二位不同。

以此类推，实数R小数点后的第n位与列表中第n个实数的第n位不同。

这就是这个证明被称为对角线法的原因，新的实数R所取的小数来自列表中全体实数的一条对角线上。

最终，这个新的实数与列表中的每一个实数都不同，一张无限长的列表也无法写出全部的实数。

由此得出与假设不同的矛盾，从而证明实数是不能可数化的。

实数集与自然数集无法一一对应，它是一个比可数无穷更大的无穷。

如此便有了三个基本的层次

有限，可数无限，不可数无限。

康托尔将连续统的基数称为c。

在这之后他做了一些更深入的证明，即线段=直线，直线=平面。

实数轴【o，1】区域点的数量与整条实数轴一样多，线、面、体都是等价的点集，基数都是连续统的基数c。

它们都是一样的无限大，维度差异根本无关紧要。

这意味着能够用一个坐标来唯一确定一个n维连续空间的点，而不需要随着维度增加而添加更多的空间坐标。

“这个问题有些纲了，我们当前探究的只是实数轴和连续统，关于线=面=体的反直觉问题暂且略过。”

李恒的脸颊鼓起来一小块，这让他看起来有些像是在吃花生的仓鼠。

嘎嘣嘎嘣的清脆声响在这间无人的庭院中响起，阿基里斯抬头看去，那棵大红枣树上面的红枣已经只剩下寥寥几个，看起来有种荒凉感。

那些红枣小部分到了她的肚子里，大部分都被李恒吞下了肚。

还好康托尔不在这里，不然大概要跟他们这两个不告而取的家伙打上一架。

以己度人，要是他自己种的红枣被陌生人跑进来吃了个精光，那她肯定要气的半死。

“不，他一直在边上看着咱们。”

李恒抬手指向枣树的根部。

“这是个脾气很好的老头，跟挂在天上的那个大太阳不太一样。”

阿基里斯闻言看向枣树，她握住胸前的螺旋状钥匙，用那个看不到具体尖端的小点对准了那里，终于看到了躺在枣树底下的第三人。

一个脸上布满皱纹，头散乱的白老头子，眼中有着呆滞和茫然，仰着头躺在那里不知道在想些什么。

“他对我们讨论的东西并不感兴趣，也不在意我们吃掉他种的红枣，只喜欢一个人待着思考自己的问题。”

“虽然是个精神病老头，但没有什么攻击性，不像上个世界的毕达哥拉斯那样危险。”

李恒从那棵变得光秃秃的枣树上摘下最后几个红枣，塞到了身旁白女孩的手掌心里。

“最后几个了，这可是康托尔亲手种下的好东西，比人参果还厉害的宝贝，闻一闻味道就能获得一念生灭多元宇宙的力量。”

虽然同样都是可数无穷，但无理代数数和自然数集合、有理数集合当然有很大区别。

用基数衡量力量层次是一种很粗糙的方法，在无限领域，即使是相同的基数，具备的力量也是天差地别。

这涉及到更复杂的穷序数和图灵机的力量层次，从可数无穷到不可数无穷之间还有着极度复杂的结构。

用有限世界的情况进行类比，一个一千克的血肉大脑和一团一千克的棉花是不一样的，一百亿人组成的智慧文明和一块十亿吨重的石头也是不一样的。

“噢…这么厉害啊。”

阿基里斯仔细看了两眼，抬手就把这几颗珍贵的红枣塞进了嘴中，随意地嚼了两下就吞了下去。

味道确实比最初在地球上吃的烤牛排要好不少。

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