韩三千小说

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第726章 希尔伯特第一问（第1页）

“离散和连续，可数无穷和不可数无穷，康托尔的研究在无穷领域中点亮了一丝曙光。”

“从古希腊时代以来一直存在于混沌之中，被人类认为是模糊且不可理解的实无穷因此有了具体的模样。”

“在数学领域中，康托尔的集合论与穷数理论说是开天辟地也不为过。”

“其中最关键的一点就是，康托尔现了无穷也是有不同的等级的。”

“既然有了第一个不同于可数无穷的无穷大，那么后面还有没有第二个、第三个甚至是无限多个？”

“康托尔对于直线、平面、立体的研究就是这个思想下的产物。”

李恒靠在那棵光秃秃的枣树下，将手中的一片树叶折叠成立体的形状。

“更多的维度需要更多的坐标进行确定，二维空间中的点应该多于一维直线上的点，因而空间上的点组成的集合应是比不可数集更大的等级。”

“这一点在微积分的计算中表现得很明显，一条无限长的直线与数轴围成的面积可以是一个有限值。”

“将一块面积有限的圆饼分割展开，能够形成一条无限长度的链条。”

“在高维空间中是有限大小的物体，在低维空间中却是无限大的，这似乎就是在说明，高维空间是更大的无穷大。”

“可惜，就像之前说过的那样，康托尔反而证明了维度的数量对于连续空间中的点集大小毫无影响。”

“在无穷大的世界里，人类直观的几何概念显然是毫无作用的。”

“为了寻找更大的基数，康托尔以集合论为基础重新出，从每一个集合与自身子集之间的关系入手。”

一个集合{1，2，3}包含三个元素。

这个集合的非空子集为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共有7个。

最后再加上空集?，总共有2^3个子集。

类似的，可以证明对包含n个元素的集合，其子集的数量是2^n个。

这一点对于空集也是成立的。

空集中的元素为o，但空集也是自身的子集，因此空集的所有子集数量为1，也就是非空集合{?}。

这种方法正是后来以集合论为基础生成自然数的方法。

?，{?}，{?，{?}}…这组序列就代表了自然数o，1，2…。

利用空集作为一切的基础，生成整个自然数序列。

“事实上，2这个数字在这里有更丰富的意义。”

“为什么是2，而不是3或者1o？”

“本质上2这个数字代表了一种二元选择——也就是判定是或否。”

“从一个集合包含的元素来构造其全体子集的过程，实际上就是一连串的判定过程。”

“集合中的每一个元素都只有两种可能，属于这个集合，或者不属于这个集合，没有其他情况。”

“3个元素，每一个元素都有是、否两种可能，总共就是8种可能性。”

“通过判定集合中的每一个元素是否属于这个集合，可以构造出一个新的集合。”

“这个新集合包含的元素是原集合的全体子集，它被称为幂集。”

“新的幂集显然大于原来的集合，康托尔证明了即使集合是无穷的，它的幂集的基数也总是大于它。”

“这就是幂集公理。”

“利用幂集公理，就能构造出一个新的更大的无穷集合，也就是2^?o=?1”

“?o，?1，?2，…直到阿列夫无限。”

“这里的无限用的是穷序数，也就是从最初的?o开始，经过无限次幂集构造后得到的集合。”

“这一系列的数字就是所谓的阿列夫数。”

“在这之后，还可以利用构造幂集的方式继续创造更大的集合，比如类似于穷序数中ε不动点的阿列夫不动点，满足a=?a。”

“每一个穷序数下标代表的是幂集构造的次数，是在无穷大领域的跳跃。”

手中绿色的树叶上流动的白色文字停留在了阿列夫不动点那里，李恒将这些文字全部抹去，接着道

“这些属于扩展阅读的部分，回到连续统的问题。”