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李恒从地上直起身来,那棵光秃秃的枣树也在这时又一次长满了红枣。
“康托尔的故事到此为止,但有关于连续统的问题还远远没有结束。”
“下一个想要解答这个问题的人是希尔伯特,连续统问题就是着名的希尔伯特第一问。”
时空变换,精神病院消失不见,取而代之的是一条清澈的小河,河边的草地上伫立着一块墓碑。
“墓碑?”
阿基里斯看着墓碑上的黑白照片,心中略微有些无语。
毕达哥拉斯在追寻无穷之路上变成了一只怪物,康托尔成了精神病院里的躺平老头。
希尔伯特更惨,只剩下了一块墓碑和一张黑白照片,墓穴里空空荡荡什么都没有。
“嗯,墓碑。”
李恒走到墓碑前,将手中那片从康托尔的枣树上取下的绿叶放到墓碑前。
阿基里斯微微眯起眼睛,她现绿叶上写着两句新的文字。
『我们必须知道,我们必将知道。』
这是希尔伯特的名言,以此作为对那些信奉不可知论之人的反击。
他认为每一个确定的数学问题必定能得到一个准确的回答
或者给所提问题以实际的肯定答案;或者证明问题是不可能的,因此所有企图证明它成立的努力必然失败。
所有的数学问题或者为真,或者为假,不存在其他情况。
李恒看向阿基里斯肩膀上写着“排中律”字样的小便签。
“在数学中有两种证明,一种叫做构造性证明,它会给出具体的例证。”
“另一种则叫做非构造性证明,或者称作存在性证明,它所使用的规则就是排中律。”
“希尔伯特就是非构造性证明的大师。”
“利用排中律和反证法,即使并不知道具体的对象到底是什么,也能证明它存在。”
“连续统问题的本质就与排中律有关。”
“戴德金分割用有理数分割定义实数,并没有给定一些得以构造出集合a和B的数学规则。”
“『如果数轴可以划分为a和B』,却没有给出任何可以实际构造出这些集合的方法或程序,”
“无论如何,这些集合实际上是不可构造或验证的。”
“不仅如此,康托尔证明实数集c、自然数集的幂集?1等等集合是不可数无穷时使用的也是反证法,依赖于排中律。”
阿基里斯从那写着“我们必须知道,我们必将知道”的叶片上收回目光,看向自己肩膀上贴着的便签。
“排中律有问题?”
在不可数无穷上遇到的困难似乎就是源于排中律。
一个数学命题为真,或者为假,这应该是理所当然的。
“没错,排中律就是第三次数学危机的源头。”
“更深入的说,是排中律隐藏着的人类最基础的逻辑问题。”
李恒抬手敲了敲墓碑上的黑白照片道
“说谎者悖论、上帝全能悖论、理师悖论等等。”
“所有这些悖论的本质都是自我指涉问题。”
“『我说的这句话是谎话』,这句话是真是假?”
如果说的是真话,这句话就是谎话。
如果这句话是谎话,那么这句话就是真话。
这个古老的逻辑悖论就是第三次数学危机的根源。
它在康托尔的朴素集合论中被放大,成为了一个必须解决的问题。
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