韩三千小说

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第722章 万物皆数（第4页）

一直这样减下去，最终就得到一个小于任何事先给定量的量。

在这里使用了“任意小”这个词，这是一种潜无穷的观点。

相较于其他古希腊人，欧多克索斯和阿基米德更注重实用。

不在意逻辑推理上的疑难问题，只关注能否计算。

因此他们在否认实无穷的古希腊时代，展出了接近微积分的穷竭法来处理那些光滑的曲线。

就像把一个圆重组成矩形时那样，微积分可分为两个步骤切分和重组。

切分过程总是涉及无限精细的减法运算，把一块蛋糕不停地切去一半，最终留下来一块任意小——或者说是无穷小的部分，这个过程就是微分。

重组过程则总是涉及无限的加法运算，将无穷小的各个部分整合成原来的整体，这个部分就是积分。

两个步骤分别对应于还原论与整体论的哲学思想。

“阿基米德用类似的方法来计算圆周率，通过画圆的内接正多边形和外接正多边形，计算圆周率的范围。”

“最终，当正多边形的每一条边无穷小、边的数量达到实无穷时，就能得到一个光滑的、完美的圆，同时也就得到了圆周率。”

实无穷有趣的地方就在于，经过无限次步骤后得到的最终结果反而会比有限的状况处理起来简单许多。

一个有古戈尔条边的正多边形，那可比光滑完美的圆复杂得多了。

这就像作为整体的无理数根号2与小数点后的一部分有限数一样。

实无限凌驾于一切有限之上，但却未必就比有限的事物更复杂。

这也是渺小的人类有可能理解无限的宇宙，以凡人之身掌握万物运转规律的理论基础。

整本书的内容并不困难，只要不被古希腊人对无穷的厌恶吓到，很容易就能理解阿基米德计算圆周率的过程。

当然，具体计算起来又是另一回事了。

古希腊人只能徒手计算那些需要开根号的麻烦无理数，用这种方法来计算圆周率的效率相当低下。

“有了穷竭法以后，再次回头看芝诺的二分悖论。”

“12+14＋18…，这个无穷级数就是数轴上每次割去一半、无限次切割的单位长度。”

“欧多克索斯和阿基米德不敢在书面上使用实无穷，但是如果应用了实无穷，就能知道这个无穷级数的和正好等于1。”

“二分悖论的问题在于，芝诺认为无穷个量相加一定是无法计算的无穷，却没想过结果其实是一个有限的数值。”

说到这里，李恒抬手给阿基里斯递过去一本小册子。

“嗯？…小说书？”

阿基里斯看着手中的小册子，打开之后看到的是“第四十六章”的字样。

“『我的父母很明白，阿基里斯是能够追上乌龟的，他们为我取这个名字不是把我当做善跑的英雄，而是那只悖论中的可笑乌龟』。”

她抬起头问道

“这本书写的是我的故事？”

李恒点点头回道

“是，阿基里斯是这本书的主角。”

“不仅是二分悖论，阿基里斯与芝诺的龟的问题也可以用这种思想来解决。”

“o.999…=1，这里的等号不是约等于，而是确切的等于。”

“不考虑阿基里斯到底是如何从静止走向运动、又是如何走完无穷步的。”

“这个等号的意思是，在数学上的理想状况下，经过了无限次步骤之后，阿基里斯确实追上了乌龟，两者在数轴上完全重合，位于同一个点。”

“12+14…=1，o.9…=1，其实只是同一个数的不同写法而已，是在数轴上从o出抵达1的不同行走方法。”

“其他整数和分数也可以被写成这种无穷级数的形式。”

“人类现的无理数，实际上就是一个和为有限值的无穷级数，也就是所谓的收敛级数。”

换句话说，每一个真实存在的无理数都是一个已完成的无穷序列。

一个对应着无理数的世界，在无穷小的空间和时间内，都能完成无限次步骤的计算任务，容纳着无穷的信息与能量。

虽然这样的世界依旧还不是连续统，但与普通人类所在的整数世界也完全是两个概念。

生存在那里的生物，即使因为这个玻璃罐世界的规则而意识不到自身的强大。

但他们任何一个体内都容纳着实在无穷的力量，即使是身体中无穷小的组成部分也一样。

空间均匀分布的整数世界那些无限大的静止宇宙，无穷无尽的静止宇宙组成的次元世界，还有上不见顶、深不见底的量子比特海洋。

它们全都只是无理数世界的生物身体上无穷小的基本组成部分，等同于数轴上那些没有大小的点。

所以阿基里斯必须要拥有实无穷等级的力量才能去往旅程的下一站。